Производная показательной функции число е урок. «Число е

Дидактическая цель: сформировать представление о числе е, доказать дифференцируемость функции в любой точке , дифференцирование функции . Дать понятие натурального логарифма.

Развивающая цель: развивать умение быстро и правильно проводить вычисления с применением персонального компьютера.

Воспитательная цель: продолжить формирование умения правильно воспринимать и активно запоминать новую информацию, что является важнейшим качеством будущего специалиста.

Наглядные пособия: плакаты.

Раздаточный материал: карточки-задания для индивидуальной работы. Оборудование: компьютер учителя, мультимедийный проектор, экран. Мотивация познавательной деятельности учащихся. Рассказать, какую важную роль играют логарифмы в курсе математики, а также в общетехнических и специальных дисциплинах, при этом подчеркнуть значение числа е и натурального логарифма.

Ход урока.

I. Организационный момент.

II . Объяснение нового материала.

1)Графики показательной функции.

3) Число .

4) Вычисление числа .

5) Формула производной показательной функции.

6) Вычисление натурального логарифма с помощью MS Excel .

7) Первообразная показательной функции.

8) 3начение числа .

III. Решение примеров.

IV. Итоги урока.

V. Домашнее задание.

Объяснение. Графики показательной функции изображались в виде гладких линий (т.е. без изломов), к которым в каждой точке можно провести касательную. Но существование касательной к графику функции в точке с абсциссой равносильно её дифференцируемое в х 0 . Поэтому естественно предположить, что во всех точках области определения она дифференцируема. Нарисуем несколько графиков функции у=а х для у=2 х , у=З х , у=2,З х (Приложение №1)

Проведём к ним касательные в точке с абсциссой . Касательные расположены к графикам различны. Измеряем углы наклона каждой из них к оси абсцисс и убеждаемся, что углы наклона этих касательных приблизительно равны 35°...51°, т.е. с увеличением а угловой коэффициент к графику в точке М(0;1) постепенно возрастает от tg 35 до tg 51.

Существует такое число, болышее2 и меньшее 3, что показательная функция у=а х в точке 0 имеет производную равную 1. Основание этой функции принято обозначать буквой е. Число е иррационально, и поэтому записывается в виде бесконечной десятичной дроби

e ≈ 2,7182818284…

С помощью ЭВМ найдено более 2 тысяч десятичных знаков числа е. Первые числа таковы 2,718288182459045~2,7.

Функцию часто называют экспонентой. Полученное число играет огромную роль в высшей математике также как и знаменитое число 3,14. Формула производной показательной функции.

Теорема 1. Функция .

Доказательство. Находим приращение функции

при .

По определению производной , т.е при любых .

Доказать, что самостоятельно.

Пример.

Даю определение: Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию :

Теорема 2. Показательная функция дифференцируема в каждой точке области определения, и .

Примеры. , . Найти производные функций.

Вычисление натурального логарифма с помощью MS Excel .

Пример. Исследуем функцию на возрастание (убывание) и экстремум и построим её график.

Так как для любых , то знак совпадает со знаком . Следовательно на , - возрастает

на , - убывает.

Для построения графика используем программу MS Excel .

Первообразная показательной функции.

Теорема 3.Первообразной для функции на R является функция . Доказательство:

Примеры:

а) ,

б) ,

в) , .

г) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

Значение е.

Полученное число играет огромную роль в математике, физике, астрономии, биологии и других науках. Вот некоторые:

Это славное е

Помогает вполне

Уяснить вам и мне

Год рожденья Толстого Л.Н. 2,71828

Формула Эйлера.

Леонард Эйлер (1707-1783г) Знаменитый математик 18в. Эйлер установил зависимость силы трения от числа оборотов верёвки вокруг сваи.

, -сила, против которой направлено наше усилие ; е;

Коэффициент трения между верёвкой и сваей, - угол навивания, т.е. отношение длины дуги, охваченной верёвкой, к радиусу этой дуги. В обыденной жизни, мы, сами не подозревая, часто пользуемся выгодой, которую указывает нам формула Эйлера.

Что такое узел? Это бечёвка, навитая на валик. Чем больше число оборотов каната, тем трение больше. Правило возрастания трения таково, что, увеличением числа оборотов в прогрессии арифметической, трение растёт в прогрессии геометрической.

Бессознательно пользуется тем же обстоятельством и портной, пришивая пуговицу. Он много раз обматывает нитку вокруг захваченного стежком участка материи и затем обрывает её, если только нитка крепка, пуговица не отпорется. Здесь применяется уже знакомые нам правило: с увеличением числа оборотов нитки в прогрессии арифметической крепость шитья возрастает в прогрессии геометрической. Если бы не было трения, мы не могли бы пользоваться пуговицами: нитки размотались бы под их тяжестью и пуговицы отвалились бы. , -Людвигу Больцману(1844-1906г), австрийскому физику, открывшему основной закон природы, определяющий направление всех физических процессов, стремящихся к равновесию как наиболее вероятному состоянию. -энтропия, т.е. мера достижения системой равновесия, -вероятность состояния системы.

Итоги урока. Домашнее задание: №538,№542

Приложение №1

Производная экспоненты равна самой экспоненте (производная e в степени x равна e в степени x):
(1) (e x )′ = e x .

Производная показательной функции с основанием степени a равна самой функции, умноженной на натуральный логарифм от a :
(2) .

Вывод формулы производной экспоненты, e в степени x

Экспонента - это показательная функция, у которой основание степени равно числу e , которое является следующим пределом:
.
Здесь может быть как натуральным, так и действительным числом. Далее мы выводим формулу (1) производной экспоненты.

Вывод формулы производной экспоненты

Рассмотрим экспоненту, e в степени x :
y = e x .
Эта функция определена для всех . Найдем ее производную по переменной x . По определению, производная является следующим пределом:
(3) .

Преобразуем это выражение, чтобы свести его к известным математическим свойствам и правилам. Для этого нам понадобятся следующие факты:
А) Свойство экспоненты :
(4) ;
Б) Свойство логарифма :
(5) ;
В) Непрерывность логарифма и свойство пределов для непрерывной функции:
(6) .
Здесь - некоторая функция, у которой существует предел и этот предел положителен.
Г) Значение второго замечательного предела :
(7) .

Применяем эти факты к нашему пределу (3). Используем свойство (4):
;
.

Сделаем подстановку . Тогда ; .
В силу непрерывности экспоненты,
.
Поэтому при , . В результате получаем:
.

Сделаем подстановку . Тогда . При , . И мы имеем:
.

Применим свойство логарифма (5):
. Тогда
.

Применим свойство (6). Поскольку существует положительный предел и логарифм непрерывен, то:
.
Здесь мы также воспользовались вторым замечательным пределом (7). Тогда
.

Тем самым мы получили формулу (1) производной экспоненты.

Вывод формулы производной показательной функции

Теперь выведем формулу (2) производной показательной функции с основанием степени a . Мы считаем, что и . Тогда показательная функция
(8)
Определена для всех .

Преобразуем формулу (8). Для этого воспользуемся свойствами показательной функции и логарифма .
;
.
Итак, мы преобразовали формулу (8) к следующему виду:
.

Производные высших порядков от e в степени x

Теперь найдем производные высших порядков. Сначала рассмотрим экспоненту:
(14) .
(1) .

Мы видим, что производная от функции (14) равна самой функции (14). Дифференцируя (1), получаем производные второго и третьего порядка:
;
.

Отсюда видно, что производная n-го порядка также равна исходной функции:
.

Производные высших порядков показательной функции

Теперь рассмотрим показательную функцию с основанием степени a :
.
Мы нашли ее производную первого порядка:
(15) .

Дифференцируя (15), получаем производные второго и третьего порядка:
;
.

Мы видим, что каждое дифференцирование приводит к умножению исходной функции на . Поэтому производная n-го порядка имеет следующий вид:
.

Урок и презентация на тему: "Число e. Функция. График. Свойства"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 11 класса
Интерактивное пособие для 9–11 классов "Тригонометрия"
Интерактивное пособие для 10–11 классов "Логарифмы"

Ребята, сегодня мы будем изучать особенное число. Оно занимает отдельное место во "взрослой" математике и имеет много замечательных свойств, некоторые из которых мы и рассмотрим.

Вернемся к показательным функциям $y=a^x$, где $а>1$. Мы можем построить множество различных графиков функций для различных оснований.
Но следует заметить, что:

• все функции проходят через точку (0;1),
• при $х→-∞$ график имеет горизонтальную асимптоту $у=0$,
• все функции возрастают и выпуклы вниз,
• а также непрерывны, что в свою очередь означает, что они дифференцируемы.

Рассмотрим функцию $y=2^x$ и построим к ней касательную.
Аккуратно построив наши графики, можно заметить, что угол наклона касательной равен 35°.
Теперь давайте построим график функции $y=3^x$ и также построим касательную:
В этот раз угол наклона касательной приблизительно равен 48°. Вообще, стоит заметить: чем больше основание показательной функции, тем больше угол наклона.
Особый интерес представляет касательная с углом наклона равным 45°. К графику какой показательной функции можно провести такую касательную в точке (0;1)?
Основание показательной функции должно быть больше 2, но меньше 3, так как требуемый угол касательной достигается где-то между функциями $y=2^x$ и $y=3^x$. Такое число было найдено и оно оказалось довольно уникальным.

Показательную функцию, у которой касательная, проходящая через точку (0;1) имеет угол наклона равный 45°, принято обозначать: $y=e^x$ .
Основание нашей функции является иррациональным числом. Математиками было выведено приблизительное значение этого числа $e=2.7182818284590…$.
В курсе школьной математике принято округлять до десятых, то есть $e=2.7$.
Давайте построим график функции $y=e^x$ и касательную к этому графику.
Нашу функцию принято называть экспоненциальной.
Свойства функции $y=e^x$.
1. $D(f)=(-∞;+∞)$.
2. Не является ни четной, ни нечетной.
3. Возрастает на всей области определения.
4. Не ограничена сверху, ограничена снизу.
5. Наибольшего значения нет, наименьшего значения нет.
6. Непрерывна.
7. $E(f)=(0; +∞)$.
8. Выпукла вниз.
В высшей математике доказано, что экспоненциальная функция всюду дифференцируема, и ее производная равна самой функции: $(e^x)"=e^x$.
Наша функция находит большое применение в многих разделах математики (в математическом анализе, в теории вероятности, в программировании), и многие реальные объекты связаны с этим числом.

Пример.
Найти касательную к графику функции $y=e^x$ в точке $х=2$.
Решение.
Уравнение касательной описывается формулой: $y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Последовательно найдем требуемые значения:
1. $f(a)=f(2)=e^2$.
2. $f"(a)=e^a$.
3. $f"(2)=e^2$.
4. $y=f(a)+f"(a)(x-a)=e^2+e^2(x-2)=e^2*x-e^2$.
Ответ: $y=e^2*x-e^2$

Пример.
Найти значение производной функции $y=e^{3x-15}$ в точке $х=5$.
Решение.
Давайте вспомним правило дифференцирования функции вида $y=f(kx+m)$.
$y"=k*f"(kx+m)$.
В нашем случае $f(kx+m)=e^{3x-15}$.
Найдем производную:
$y"=(e^{3x-15})"=3*e^{3x-15}$.
$y"(5)=3*e^{15-15}=3*e^0=3$.
Ответ: 3.

Пример.
Исследовать на экстремумы функцию $y=x^3*e^x$.
Решение.
Найдем производную нашей функции $y"=(x^3*e^x)"=(x^3)"*e^x+x^3(e^x)"=3x^2*e^x+x^3*e^x=x^2*e^x(x+3)$.
Критических точек у функции нет, так как производная существует при любом х.
Приравняв производную к 0, получаем два корня: $x_1=0$ и $x_2=-3$.
Отметим наши точки на числовой прямой:

Задачи для самостоятельного решения

График показательной функции представляет собой кривую плавную линию без изломов, к которой в каждой точке, через которую она проходит, можно провести касательную. Логично предположить, что если можно провести касательную, значит функция будет дифференцируема в каждой точке своей области определения.

Отобразим в одних координатных осях несколько графиков функции y = x a , Для а = 2; a = 2,3; a = 3; a = 3,4.

В точке с координатами (0;1). Углы наклона этих касательных будут равны приблизительно 35, 40, 48 и 51 градусов соответственно. Логично предположить, что на интервале от 2 до 3 существует число, при котором угол наклона касательной будет равен 45 градусов.

Дадим точную формулировку этого утверждения: существует такое число большее 2 и меньшее 3, обозначаемое буквой е, что показательная функция y = e x в точке 0, имеет производную равную 1. То есть: (e ∆x -1) / ∆x стремится к 1 при стремлении ∆х к нулю.

Данное число e является иррациональным и записывается в виде бесконечной непериодической десятичной дробью:

e = 2,7182818284…

Так как число е положительно и отлично от нуля, то существует логарифм по основанию e. Данный логарифм называется натуральным логарифмом . Обозначается ln(x) = log e (x).

Производная показательной функции

Теорема: Функция e x дифференцируема в каждой точке своей области определения, и (e x)’ = e x .

Показательная функция a x дифференцируема в каждой точке своей области определения, и причем (a x)’ = (a x)*ln(a).
Следствием из этой теоремы является тот факт, что показательная функция непрерывна в любой точке своей области определения.

Пример: найти производную функции y = 2 x .

По формуле производной показательной функции получаем:

(2 x)’ = (2 x)*ln(2).

Ответ: (2 x)*ln(2).

Первообразная показательной функции

Для показательной функции a x заданной на множестве вещественных чисел первообразной будет являться функция (a x)/(ln(a)).
ln(a) - некоторая постоянная, тогда (a x / ln(a))’= (1 / ln(a)) * (a x) * ln(a) = a x для любого х. Мы доказали эту теорему.

Рассмотрим пример на нахождение первообразной показательной функции.

Пример: найти первообразную к функции f(x) = 5 x . Воспользуемся формулой приведенной выше и правилами нахождения первообразных. Получим: F(x) = (5 x) / (ln(5)) +C.